$\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}$のデルタ関数としての解釈

前の記事では初期条件として$\theta(x,0)=\delta(x)$、つまり$x=0$で温度が無限大、それ以外で$0$としたときの温度$\theta(x,t)$が満たす熱伝導方程式

\begin{align*}
\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} = 4\pi \frac{\partial \theta}{\partial t}
\end{align*}
の解が
\begin{align*}
\theta(x,t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t }e^{2n \pi i x}
\end{align*}
となることに触れた。さて、ここで逆に$t \to 0$とする。するとこのとき$\lim_{t \to \infty}\theta(x,t)=\delta(x)$となってほしいのだが、一方で上記の級数は

\begin{align*}
\lim_{t \to 0}\theta(x,t)"=" \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{2n \pi i x}
\end{align*}

とでも書きたくなるものである。この右辺の級数は任意の$x$で収束しないので意味を持たない級数だが、最近たまたま知人にこの級数とデルタ関数との関係について、次のような大変興味深い解釈があることを教えてもらったことを思い出したので、ここに書くことにする。

（なお、デルタ関数を熱伝導方程式の解の極限としてみたとき、上記の級数が現れることはこれまで意識してこなかったため、いま書きながらとても興奮している。）

まず実変数$x$を複素変数$z$に変え、$q=e^{2\pi iz}$とする。そしてこの級数の右辺を
\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}&=\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} q^{-n}\\
&=\frac{1}{1-q}\Big|_{q<1}+\frac{q^{-1}}{1-q^{-1}}\Big|_{q>1}\\
&=\frac{1}{1-q}\Big|_{q<1}-\frac{1}{1-q}\Big|_{q>1}
\end{align*}
と書く。これは無茶苦茶な変形だが、こう書くことによって、以下の通りコーシーの積分公式との関連が生まれ、この級数がデルタ関数と同じ役割を果たすことになる。
実際、適当な領域で正則な関数$f$に対して、
\begin{align*}
\int_{-1/2}^{1/2}f(z)\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}dz
&= \int_{-1/2}^{1/2}f(z)\left(\frac{1}{1-q}\Big|_{q<1}-\frac{1}{1-q}\Big|_{q>1}\right)dz\\
&= \int_{l^{+}}\frac{f(z)}{1-e^{2\pi iz}}-\int_{l^{-}}\frac{f(z)}{1-e^{2\pi iz}}dz\\
&= \int_{C}\frac{f(z)}{e^{2\pi iz}-1}dz\\
&=f(0)
\end{align*}
　ここで$l^{+}$は$-1/2$を始点、$1/2$を終点とする上半平面上の道、$l^{-}$は$-1/2$を始点、$1/2$を終点とする下半平面上の道であり、$C$は半径$1$の円周に正の向きを入れたものである。
　最終的にコーシーの積分定理から$f(0)$が出てきており、これにより$\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}$がデルタ関数と同じ役割を果たしていると見ることができる。

　このような解釈は佐藤超関数の理論と関係があるようなのだが、それについては残念ながら分からない。