今日の授業

今日は色々問題を考えたり解いたりしたが、生徒さんの気づきから発展して次のことがわかった：

「正の整数$n$に対して$2^n$の$10$進展開の先頭の数を$a_n$とする（つまり$a_n$は$1$から$9$の数）。この時$d=1,2,\cdots,9$に対して

$$ \lim_{N \to \infty}\frac{ \#\{n | n \leq N, a_n = d\}}{N} = \log_{10}(1 + 1/d) $$

となる（つまりベンフォードの法則が成り立つ例になっている）」

 証明はWeylの一様分布定理を用いれば出てくるが、ベンフォードの法則の数学的に厳密な例は考えたことがなかったので、こちらも勉強になった。