すうがくなどについてのメモ

数学を教えたり、調べたり、考えたりしたことのメモです

数学

数論幾何の勉強

知人のUさんから月に一回くらいのペースで数論幾何について教えてもらっている。今日はその日。 $L/K$:Galois、$X = \text{Spec } K$、$U = \text{Spec } L$とする。今日の内容は、$X$上のetale $\mu$-torsor $F$で、$U$で自明化されるものはどんなものか?…

$R^2$内の二つの図形を同じとみなす見方

$R^2$内の二つの図形を「同じ」とみなす見方は色々ある。例えば二つの三角形が「合同」なときにその三角形を「同じ」と思いたくなったりするが、これはその二つの三角形が平行移動と回転、鏡映という変換で互いに移り合う時に「同じ」とみなす、という見方を…

$C^{\infty}$級と$C^{\omega}$級の違い

こないだの授業で、「何回でも微分できる関数は、テイラー展開可能なのか?」という質問をもらい、「いや、そうとは限らないよ」という話をした。 実際、$\mathbb{R}$上の関数 \begin{eqnarray}f(x) = \begin{cases}e^{-1/|x|} & ( x \neq 0 ) \\0 & ( x = 0…

基本対称式と差積

授業で解いた問題を、生徒さんと一緒に膨らませていたら、面白そうな事実が出てきたのでメモ。 $n$個の変数$x_1,x_2,\cdots,x_n$の基本対称式を$s_1,s_2,\cdots,s_n$とする。つまり、\begin{align*} s_1&=x_1+x_2+\cdots+x_n \\ s_2&=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x…

Poissonの和公式の感覚的な導出

前回の記事では$\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}$のデルタ関数としての解釈について書いたが、$q$は周期$1$なので、実数全体では各整数上のデルタ関数、すなわち\begin{align*}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{2\pi inz}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(z-n…

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}$のデルタ関数としての解釈

前の記事では初期条件として$\theta(x,0)=\delta(x)$、つまり$x=0$で温度が無限大、それ以外で$0$としたときの温度$\theta(x,t)$が満たす熱伝導方程式 \begin{align*}\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} = 4\pi \frac{\partial \theta}{\partial t} \en…

テータ関数と熱伝導方程式

リーマンゼータ関数の第二の積分表示に用いられるテータ関数$\theta(t)$\begin{align*} \theta(t) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t } \hspace{5mm}(t>0)\end{align*}は、熱伝導方程式と関係がある。これはよく知られた事実だと思うが、自分ではい…

いくつかのギリシャ文字がうまく表示されない

\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\epsilon\), \(\varepsilon\), \(\zeta\), \(\eta\), \(\zeta\), \(\theta\), \(\vartheta\), \(\iota\), \(\kappa\), \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\), \(\xi\), o, \(\pi\), \(\varpi\), \(\rho\), \(\va…

射影平面$\mathbb{P}^{2}$の$\mathbb{R}^{3}$へのはめ込み

https://www.youtube.com/watch?v=uiq-EcQz_uU射影平面$\mathbb{P}^{2}$を$\mathbb{R}^{3}$に$C^{\infty}$級にはめ込むボーイ曲面の動画。まだ何が起こっているか追いきれてないけど、見ていてすごく面白い。

ルービックキューブと群論

ルービックキューブと群論の関係を調べていたら、Daniel BumpのHPに群論の導入にとても良さそうな資料を発見 http://sporadic.stanford.edu/bump/match/rubik.pdf 授業で使う機会がくると良いな。