すうがくなどについてのメモ

数学を調べたり、教えたり、教えてもらったことのメモです

Nekrasov-Okunkov多項式

Nekrasov-Okunkov formulaの$x^n(n \geq 1)$の係数として現れる$z$の多項式を$n$次のNekrasov-Okunkov多項式と呼ぶことにする。

私にとってNekrasov-Okunkov formulaは衝撃的で、Nekrasov-Okunkov多項式もきっと奥深い性質を持っているに違いないと思っているので、この多項式についてとりあえず今分かることをメモする。

$n$次のNekrasov-Okunkov多項式について比較的すぐに分かること:

 ・最高次の項は$(-z)^n/n!$

  −なお、これとNekrasov-Okunkov formulaと併せると、$$ \sum_{\lambda \in \mathcal{P}(n)}  \left( \frac{n!}{\prod_{h \in \mathcal{H}(\lambda)} h} \right)^2 =n!$$

   が分かる。これは$S_n$の既約表現についてのhook length formulaから出る等式でもある。

 ・定数項は$P(n)$(分割数)

 ・$n$次のNekrasov-Okunkov多項式が$1$以上の整数解$k$を持つことと、無限積$$ \prod_{l=1}^{\infty} (1-x^l)^{k - 1} $$

 を展開した時の$x^{n}$の項は消えることは同値。

  − したがって、Nekrasov-Okunkov多項式は常に$z=1$を解に持つ

  − 同様に、Eulerの五角数定理より$n$が五角数でない限り、$n$次のNekrasov-Okunkov多項式は$z=2$を解に持つ

  − 同様に、Jacobiによる三角数定理(この呼び名が通称として相応しいのかは不明)より、$n$が三角数でない限り、$n$次のNekrasov-Okunkov多項式は$z=4$を解に持つ

 とりあえず今分かることはこれくらい。 

 

また、$n=25$までのNekrasov-Okunkov多項式は以下の通り:

n=1:$$-z+1$$

n=2:$$\frac{1}{2!} \left(z - 4\right) \left(z - 1\right) $$

n=3:$$- \frac{1}{3!} \left(z - 9\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right)$$

n=4:$$\frac{1}{4!} \left(z - 15\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right)$$

n=5:$$- \frac{1}{5!} \left(z - 7\right) \left(z - 4\right) \left(z - 1\right) \left(z^{2} - 23 z + 30\right)$$

n=6:$$\frac{1}{6!} \left(z - 11\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{3} - 37 z^{2} + 252 z - 360\right)$$

n=7:$$-\frac{1}{7!} \left(z - 9\right) \left(z - 4\right) \left(z - 3\right) \left(z - 1\right) \left(z^{3} - 53 z^{2} + 632 z - 700\right)$$

n=8:$$\frac{1}{8!} \left(z - 7\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{4} - 78 z^{3} + 1799 z^{2} - 13362 z + 15840\right)$$

n=9:$$- \frac{1}{9!} \left(z - 27\right) \left(z - 15\right) \left(z - 5\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{3} - 63 z^{2} + 614 z - 672\right)$$

n=10:$$\frac{1}{10!} \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{8} - 142 z^{7} + 7462 z^{6} - 189700 z^{5} + 2551129 z^{4} - 18486958 z^{3} + 69956928 z^{2} - 123511680 z + 76204800\right)$$

n=11:$$- \frac{1}{11!} \left(z - 9\right) \left(z - 4\right) \left(z - 3\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{6} - 157 z^{5} + 8827 z^{4} - 223807 z^{3} + 2603236 z^{2} - 11829700 z + 10348800\right)$$

n=12:$$\frac{1}{12!} \left(z - 4\right) \left(z - 3\right) \left(z - 1\right) \left(z^{9} - 202 z^{8} + 15734 z^{7} - 617728 z^{6} + 13385669 z^{5} - 163892398 z^{4} + 1108290916 z^{3} - 3830496072 z^{2} + 5760629280 z - 3073593600\right)$$

n=13:$$- \frac{1}{13!} \left(z - 11\right) \left(z - 9\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{8} - 220 z^{7} + 18286 z^{6} - 736780 z^{5} + 15287629 z^{4} - 158605480 z^{3} + 735371844 z^{2} - 1357495920 z + 794102400\right)$$

n=14:$$\frac{1}{14!} \left(z - 7\right) \left(z - 5\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{9} - 268 z^{8} + 28354 z^{7} - 1544872 z^{6} + 47316409 z^{5} - 829931452 z^{4} + 8055057156 z^{3} - 38844159408 z^{2} + 71529950880 z - 42032390400\right)$$

n=15:$$- \frac{1}{15!} \left(z - 15\right) \left(z - 9\right) \left(z - 1\right) \left(z^{12} - 305 z^{11} + 37226 z^{10} - 2381350 z^{9} + 87915033 z^{8} - 1946477505 z^{7} + 26139160508 z^{6} - 213047751640 z^{5} + 1052551647616 z^{4} - 3112765983440 z^{3} + 5308804041216 z^{2} - 4745959061760 z + 1704819916800\right)$$

n=16:$$\frac{1}{16!} \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{13} - 369 z^{12} + 56543 z^{11} - 4756065 z^{10} + 244577013 z^{9} - 8099449767 z^{8} + 177046581389 z^{7} - 2572836067755 z^{6} + 24670734911686 z^{5} - 152556756319164 z^{4} + 582735184849368 z^{3} - 1277681108424480 z^{2} + 1415868516921600 z - 604145558016000\right)$$

n=17:$$- \frac{1}{17!} \left(z - 11\right) \left(z - 7\right) \left(z - 4\right) \left(z - 3\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{11} - 397 z^{10} + 64956 z^{9} - 5756358 z^{8} + 305173737 z^{7} - 10071035433 z^{6} + 208090543154 z^{5} - 2629866062372 z^{4} + 19152433219752 z^{3} - 71477431676640 z^{2} + 110874456979200 z - 57164050944000\right)$$

n=18:$$\frac{1}{18!} \left(z - 9\right) \left(z - 4\right) \left(z - 3\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{13} - 458 z^{12} + 88277 z^{11} - 9457990 z^{10} + 626609703 z^{9} - 26999339214 z^{8} + 773862451151 z^{7} - 14813045077450 z^{6} + 187035483154996 z^{5} - 1510624401677528 z^{4} + 7380786567804672 z^{3} - 19832824586136960 z^{2} + 24912334784332800 z - 11411638318080000\right)$$

n=19:$$- \frac{1}{19!} \left(z - 15\right) \left(z - 9\right) \left(z - 7\right) \left(z - 5\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{12} - 489 z^{11} + 100058 z^{10} - 11269590 z^{9} + 772773513 z^{8} - 33648079257 z^{7} + 939541565804 z^{6} - 16552578568920 z^{5} + 175713524447536 z^{4} - 1028365456921104 z^{3} + 2871533166977088 z^{2} - 3564237339210240 z + 1576880931225600\right)$$

n=20:$$\frac{1}{20!} \left(z - 27\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{16} - 556 z^{15} + 131848 z^{14} - 17643604 z^{13} + 1486404394 z^{12} - 83318960668 z^{11} + 3203887810904 z^{10} - 85937102481692 z^{9} + 1619937615235709 z^{8} - 21459496970724296 z^{7} + 198286994819857448 z^{6} - 1257550544665186304 z^{5} + 5327095987955967696 z^{4} - 14440964737559690880 z^{3} + 23418660883299552000 z^{2} - 20222278886363904000 z + 7062173884846080000\right)$$

n=21:$$- \frac{1}{21!} \left(z - 3\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{18} - 645 z^{17} + 181164 z^{16} - 29411460 z^{15} + 3089705262 z^{14} - 222789954870 z^{13} + 11412738495268 z^{12} - 423984857498340 z^{11} + 11556588222302073 z^{10} - 232262704837309725 z^{9} + 3439428837461673672 z^{8} - 37294228226926193040 z^{7} + 292476205418706388864 z^{6} - 1626275436182757587760 z^{5} + 6220237978739694136896 z^{4} - 15631227078519704636160 z^{3} + 24015234457861808716800 z^{2} - 19941448143554638848000 z + 6744004366665646080000\right)$$

n=22:$$\frac{1}{22!} \left(z - 4\right) \left(z - 3\right) \left(z - 1\right) \left(z^{19} - 707 z^{18} + 218934 z^{17} - 39424308 z^{16} + 4622819982 z^{15} - 374541857634 z^{14} + 21709783422808 z^{13} - 919486583621396 z^{12} + 28807777191625113 z^{11} - 671551479927955011 z^{10} + 11653577399478528282 z^{9} - 149859859390837409184 z^{8} + 1414271918322614932624 z^{7} - 9642559353124617228848 z^{6} + 46417524835311084386976 z^{5} - 152732930419688742410112 z^{4} + 328362843132027552257280 z^{3} - 432364135808296502092800 z^{2} + 312231350735689448448000 z - 93854060769430241280000\right)$$

n=23:$$- \frac{1}{23!} \left(z - 9\right) \left(z - 7\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{18} - 759 z^{17} + 252558 z^{16} - 48873660 z^{15} + 6152394342 z^{14} - 533850545778 z^{13} + 33001140423136 z^{12} - 1480891076495820 z^{11} + 48685114324498113 z^{10} - 1174610230572239967 z^{9} + 20693922547850168154 z^{8} - 263095975592270942880 z^{7} + 2367665368264015376944 z^{6} - 14667220640957936756496 z^{5} + 60242233084184512189152 z^{4} - 156333564339685864496640 z^{3} + 240134231530973642457600 z^{2} - 195686055548754236928000 z + 64373573427183820800000\right)$$

n=24:$$\frac{1}{24!} \left(z - 15\right) \left(z - 5\right) \left(z - 4\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{19} - 825 z^{18} + 299910 z^{17} - 63750900 z^{16} + 8867572926 z^{15} - 855804488070 z^{14} + 59280627791320 z^{13} - 3006928989398700 z^{12} + 112924440704234841 z^{11} - 3153430914698846265 z^{10} + 65397488365073184330 z^{9} - 1000720519216019309400 z^{8} + 11165946141511470389536 z^{7} - 89231390122026577938960 z^{6} + 497883652140867053502240 z^{5} - 1872575280998611549056000 z^{4} + 4523913554083642562397696 z^{3} - 6563815484718982000250880 z^{2} + 5113041561388142523187200 z - 1628677054549753528320000\right)$$

n=25:$$- \frac{1}{25!} \left(z - 4\right) \left(z - 3\right) \left(z - 2\right) \left(z - 1\right) \left(z^{21} - 915 z^{20} + 372665 z^{19} - 89778825 z^{18} + 14340801396 z^{17} - 1613683271430 z^{16} + 132645337281730 z^{15} - 8150918464226850 z^{14} + 379971969347508281 z^{13} - 13557480534509026095 z^{12} + 371853588020715429045 z^{11} - 7843715715836597066325 z^{10} + 126826050927101544683746 z^{9} - 1560686931429962677584360 z^{8} + 14446840026729908781222560 z^{7} - 98871580481053579526898000 z^{6} + 488044196688548328227676576 z^{5} - 1677349781800446047971507200 z^{4} + 3815333842055999879911104000 z^{3} - 5328722678891290505003520000 z^{2} + 4050811077622468999741440000 z - 1265456219368419606528000000\right)$$