Nekrasov-Okounkovの公式
調べ物をしていてすごい等式を知ったのでメモ。
Nekrasov-Okounkovの公式
$z$を複素数とする。
$$ \prod_{k=1}^{\infty} (1-x^k)^{z-1} = \sum_{\lambda \in \mathcal{P}} \left( \prod_{h \in \mathcal{H}(\lambda)}(1-\frac{z}{h^2}) \right) x^{|\lambda|} $$
が成り立つ。ここで$\mathcal{P}$は分割の集合($0$以上の整数 $n$の分割の集合$\mathcal{P}(n)$の和集合)、$\mathcal{H}(\lambda)$は分割$\lambda$のhook長からなる多重集合。
$z$が複素数というのにびっくりした。
http://www.numdam.org/article/AIF_2010__60_1_1_0.pdf
にはこの公式を$A_{\it{l}}^{\alpha}$のMacdonald identitiesから導く証明が載っている。
そもそも、Macdonald identities自体がすごい等式なのでここに書いておく($A_{\it{l}}^{\alpha}$のケースのみ)。
Macdonald identities
$t=2t'+1$を正の奇数とする。
$$ η (x)^{t^2-1} = \frac{(-1)^{t'}}{1!2! \cdots (t-1)!} \sum_{(v_0,v_1,\cdots,v_{t-1}) \in V_t} \left( \prod_{ i < j } (v_i - v_j) \right) x^{(v_0^2 + v_1^2 + \cdots + v_{t-1}^2)/(2t)} $$
が成り立つ。 ここで$ η (x)$はデデキントのエータ関数。また、$V_t$は次の二つの条件を満たす整数の組$(v_0,v_1,\cdots,v_{t-1})$の集合:
1. $v_i \equiv i \hspace{2mm} (\text{mod } t)$
2. $v_0 + v_1 + \cdots + v_{t-1} = 0$
証明など詳細が気になる人は上記の論文を見てください。