日々のすうがくメモ

数学が好きな子が、もっと数学ができるようになるためのお手伝いをしています。

$R^2$内の二つの図形を同じとみなす見方

$R^2$内の二つの図形を「同じ」とみなす見方は色々ある。例えば二つの三角形が「合同」なときにその三角形を「同じ」と思いたくなったりするが、これはその二つの三角形が平行移動と回転、鏡映という変換で互いに移り合う時に「同じ」とみなす、という見方を採用していると考えることができる。

 

また、二つの三角形が「相似」な時にその三角形を「同じ」と思うことは、平行移動と回転、鏡映に加えて拡大・縮小変換によって互いに移り合う時に「同じ」とみなす、という見方を採用していると考えることができる。

 

それぞれのケースで変換全体を考えることはそれぞれに対応する変換群を考えることに対応するが、変換群としてアフィン変換群をとってくると、平面上の全ての三角形は「同じ」とみなせる。こういった考え方がいわゆるエルランゲン・プログラムという19世紀の幾何学の重要な視点に関連する(ということを最近ようやく理解した)。

 

今日この話を生徒さんにしたら、「これ以外にもっとゆるい条件で同じとみなせるものはあるのかな?」と質問がきた(←鋭い)。ふとその場で「$R^2$から$R^2$への同相写像全体のなす群で移り合う図形を同じとみなす、という考え方がいわゆるトポロジーではないかな?」と答えたが、言いながら自分でも「ああ確かにそうだな」ととても理解が深まった。