日々のすうがくメモ

数学が好きな子が、もっと数学ができるようになるためのお手伝いをしています。

$C^{\infty}$級と$C^{\omega}$級の違い

 こないだの授業で、「何回でも微分できる関数は、テイラー展開可能なのか?」という質問をもらい、「いや、そうとは限らないよ」という話をした。

 実際、$\mathbb{R}$上の関数

\begin{eqnarray}
f(x)
=
\begin{cases}
e^{-1/|x|} & ( x \neq 0 ) \\
0 & ( x = 0 )
\end{cases}
\end{eqnarray}

は$x=0$において$C^{\infty}$級(何回でも微分可能)だが、$C^{\omega}$級(べき級数展開可能)でない。この関数は$x=0$だけでなく、$\mathbb{R}$上で$C^{\infty}$級な関数だが、$x=0$では$f^{(n)}(0)=0$となり、テイラー展開可能でない。

 

このことについて、

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yosihisa/lecture/2011/ex/ex-print1.pdf

に丁寧な説明があったので、メモ。