今日の授業ではトポロジーの話題についてあれこれ話しているうちに、正$4g$角形の辺をうまく繋げると種数$g$の閉曲面ができる、という話になり、正$40$角形から種数$10$の閉曲面を作る次の動画に辿り着いた↓ www.youtube.com この動画、「$40$角形はやりすぎ…

今日の授業では、Gauss-Bonnetの定理の多面体バージョンとも言える（不足角についての）デカルトの定理について話した。この定理はとても好きな定理なので、面白さが伝わってくれると嬉しい。 また、先日書いた素数大富豪アドベントカレンダーで使ったpython…

昨日の授業では射影平面$P^2(\mathbb{R})$の話をしようとしたが、定義を話したところで生徒さんが$P^2(\mathbb{R})$が一点（無限遠点）と直線（無限遠直線）と平面に分解できることに気づき、そこから球面やトーラスを点、直線、平面に分解したらどうなるか…

今日は色々問題を考えたり解いたりしたが、生徒さんの気づきから発展して次のことがわかった： 「正の整数$n$に対して$2^n$の$10$進展開の先頭の数を$a_n$とする（つまり$a_n$は$1$から$9$の数）。この時$d=1,2,\cdots,9$に対して $$ \lim_{N \to \infty}\fr…

今日の生徒さんとは先週に引き続きgeogebraを使って幾何で遊んだ。 三角形の内接円と辺との接点と、対となる頂点を結んでできる三本の直線は一点で交わる。これをジュルゴンヌ点というらしい。面白いのは一般の二次曲線でも同様の性質が成り立つことで、こう…

久々の更新。 今日の授業ではガロア理論の幾何学的な類似である被覆空間の理論についての導入をした。被覆変換群などについて話したが興味を持ってもらえたようでよかった。

今日の授業では$n$次対称群の共役類について話した。共役類が置換の型によって分類されるところに気づいた瞬間の生徒さんがとても嬉しそうで、こちらもテンションが上がった。 今日は逆に生徒さんからファノ平面というものを教えてもらった。生徒さんは気づ…

今日はガンマ関数が形式的には$\mathbb{C}[t]$上の作用素$t\frac{d}{dt}$の固有多項式と結びつけられることについて説明し、ゼータ関数についてのヒルベルト・ポリヤ予想について紹介した。 形式的な議論ではあるものの、レルヒの公式を通じてガンマ関数が$t…

今日は多様体についてあれこれ議論。分野的には幾何だが、テキストでは代数的なアプローチで議論している部分があり、その中で用いられていたベクトル空間の双対空間に関する事実を生徒さん自身に考えてもらう。最初に少しヒントを言っただけで、あとは自力…

今日の授業では、関数の合成に関する記法の話から脱線して、フレネル積分を紹介する流れに。私「例えば集合$X$から$X$自身への写像$f$について、$f^2(x)$は普通$f(f(x))$の意味で使われるよ」生「へえ」私「でも、三角関数の場合には事情が違っていて、$\sin…

今日は二コマ授業。一つ目の授業では二つの閉曲線がホモトープかどうかであれこれ議論し、最終的にコーシーの積分定理に帰着させて解決することができた。といってもかなりの部分は生徒さん自身の手によって進められていて、頼もしい。 もう一つの授業は、群…

整数論で出て来る関数について、歴史的には物理的なところから出発していることを説明したところ、お客様に興味を持って頂けたように思う。 物理的な背景についての自分自身の理解は浅いものの、やはり感覚的な理解が伴いやすいので、これからも機会があれば…

ルービックキューブと群論の関係についてDaniel Bumpが書いた http://sporadic.stanford.edu/bump/match/rubik.pdf を生徒さんと一緒に読む。 群の基本的な話をしたり、交換子群の性質について考えてもらったりしたが、「群」という抽象的な数学的対象が、ル…

お客様自身が考えている問題について先週教えてもらったのだが、今日の授業中に一緒に考えていたところ、思わぬ代数的構造があることが分かりすごく盛り上がった。 問題自体は解けていないが、問題を見通し良く捉えることができたのは大きな進歩だと思うし、…