すうがくなどについてのメモ

数学を調べたり、教えたり、教えてもらったことのメモです

2017-05-28から1日間の記事一覧

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}$のデルタ関数としての解釈

前の記事では初期条件として$\theta(x,0)=\delta(x)$、つまり$x=0$で温度が無限大、それ以外で$0$としたときの温度$\theta(x,t)$が満たす熱伝導方程式 \begin{align*}\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} = 4\pi \frac{\partial \theta}{\partial t} \en…

テータ関数と熱伝導方程式

リーマンゼータ関数の第二の積分表示に用いられるテータ関数$\theta(t)$\begin{align*} \theta(t) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t } \hspace{5mm}(t>0)\end{align*}は、熱伝導方程式と関係がある。これはよく知られた事実だと思うが、自分ではい…