日々のすうがくメモ

数学が好きな子が、もっと数学ができるようになるためのお手伝いをしています。

今日の授業

今日は冒頭に生徒さんが思いついたことについて話を聞く。身近なものから数学的に面白そうな現象を抽出して、考察したことを話してくれた。 数学科の正規のカリキュラムで習う数学とは一線を画すような内容だったが、一緒に考えているうちに非可換な群との関…

今日の授業

リーマンゼータ関数についての授業。素数定理を証明するときに用いられるWiener-Ikeharaの定理を紹介した。ただ素数定理を示すのに使うだけだと味気ないと思い、ちょっとした応用についても紹介したところ、面白がって貰えてよかった。

今日の授業

留数定理を用いた積分計算に取り組んでいた生徒さんに、有理関数の各極での留数の和は「無限遠点での留数」まで含めると常に$0$となることを話したところ、とても面白がってくれてこちらも嬉しくなった。 今日は多様体のテキストの練習問題についても、私が…

今日の授業

今日の授業では$n$次対称群の共役類について話した。共役類が置換の型によって分類されるところに気づいた瞬間の生徒さんがとても嬉しそうで、こちらもテンションが上がった。 今日は逆に生徒さんからファノ平面というものを教えてもらった。生徒さんは気づ…

今日の授業

今日はガンマ関数が形式的には$\mathbb{C}[t]$上の作用素$t\frac{d}{dt}$の固有多項式と結びつけられることについて説明し、ゼータ関数についてのヒルベルト・ポリヤ予想について紹介した。 形式的な議論ではあるものの、レルヒの公式を通じてガンマ関数が$t…

$C^{\infty}$級と$C^{\omega}$級の違い

こないだの授業で、「何回でも微分できる関数は、テイラー展開可能なのか?」という質問をもらい、「いや、そうとは限らないよ」という話をした。 実際、$\mathbb{R}$上の関数 \begin{eqnarray}f(x) = \begin{cases}e^{-1/|x|} & ( x \neq 0 ) \\0 & ( x = 0…

今日の授業

今日は多様体についてあれこれ議論。分野的には幾何だが、テキストでは代数的なアプローチで議論している部分があり、その中で用いられていたベクトル空間の双対空間に関する事実を生徒さん自身に考えてもらう。最初に少しヒントを言っただけで、あとは自力…

打ち合わせ

今日はとあるイベントの打ち合わせに参加。 とても刺激的なアイデアがでたり、自分では思いつかないような企画案が出たり。 すばらしいイベントになると思うし、自分も貢献したい。

今日の授業

今日の授業では、関数の合成に関する記法の話から脱線して、フレネル積分を紹介する流れに。私「例えば集合$X$から$X$自身への写像$f$について、$f^2(x)$は普通$f(f(x))$の意味で使われるよ」生「へえ」私「でも、三角関数の場合には事情が違っていて、$\sin…

基本対称式と差積

授業で解いた問題を、生徒さんと一緒に膨らませていたら、面白そうな事実が出てきたのでメモ。 $n$個の変数$x_1,x_2,\cdots,x_n$の基本対称式を$s_1,s_2,\cdots,s_n$とする。つまり、\begin{align*} s_1&=x_1+x_2+\cdots+x_n \\ s_2&=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x…

今日の授業

今日は二コマ授業。一つ目の授業では二つの閉曲線がホモトープかどうかであれこれ議論し、最終的にコーシーの積分定理に帰着させて解決することができた。といってもかなりの部分は生徒さん自身の手によって進められていて、頼もしい。 もう一つの授業は、群…

Poissonの和公式の感覚的な導出

前回の記事では$\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}$のデルタ関数としての解釈について書いたが、$q$は周期$1$なので、実数全体では各整数上のデルタ関数、すなわち\begin{align*}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{2\pi inz}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(z-n…

今日の授業

整数論で出て来る関数について、歴史的には物理的なところから出発していることを説明したところ、お客様に興味を持って頂けたように思う。 物理的な背景についての自分自身の理解は浅いものの、やはり感覚的な理解が伴いやすいので、これからも機会があれば…

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}$のデルタ関数としての解釈

前の記事では初期条件として$\theta(x,0)=\delta(x)$、つまり$x=0$で温度が無限大、それ以外で$0$としたときの温度$\theta(x,t)$が満たす熱伝導方程式 \begin{align*}\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} = 4\pi \frac{\partial \theta}{\partial t} \en…

テータ関数と熱伝導方程式

リーマンゼータ関数の第二の積分表示に用いられるテータ関数$\theta(t)$\begin{align*} \theta(t) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t } \hspace{5mm}(t>0)\end{align*}は、熱伝導方程式と関係がある。これはよく知られた事実だと思うが、自分ではい…

いくつかのギリシャ文字がうまく表示されない

\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\epsilon\), \(\varepsilon\), \(\zeta\), \(\eta\), \(\zeta\), \(\theta\), \(\vartheta\), \(\iota\), \(\kappa\), \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\), \(\xi\), o, \(\pi\), \(\varpi\), \(\rho\), \(\va…

今日の授業

ルービックキューブと群論の関係についてDaniel Bumpが書いた http://sporadic.stanford.edu/bump/match/rubik.pdf を生徒さんと一緒に読む。 群の基本的な話をしたり、交換子群の性質について考えてもらったりしたが、「群」という抽象的な数学的対象が、ル…

今日の授業

お客様自身が考えている問題について先週教えてもらったのだが、今日の授業中に一緒に考えていたところ、思わぬ代数的構造があることが分かりすごく盛り上がった。 問題自体は解けていないが、問題を見通し良く捉えることができたのは大きな進歩だと思うし、…

射影平面$\mathbb{P}^{2}$の$\mathbb{R}^{3}$へのはめ込み

https://www.youtube.com/watch?v=uiq-EcQz_uU射影平面$\mathbb{P}^{2}$を$\mathbb{R}^{3}$に$C^{\infty}$級にはめ込むボーイ曲面の動画。まだ何が起こっているか追いきれてないけど、見ていてすごく面白い。

ルービックキューブと群論

ルービックキューブと群論の関係を調べていたら、Daniel BumpのHPに群論の導入にとても良さそうな資料を発見 http://sporadic.stanford.edu/bump/match/rubik.pdf 授業で使う機会がくると良いな。