今日の授業

今日は冒頭に生徒さんが思いついたことについて話を聞く。身近なものから数学的に面白そうな現象を抽出して、考察したことを話してくれた。

数学科の正規のカリキュラムで習う数学とは一線を画すような内容だったが、一緒に考えているうちに非可換な群との関連も見えて、数学的に面白そうな内容を含んでいそう。自分なりの発見や考察はぜひ大事にしてほしいですね。

リーマンゼータ関数についての授業。素数定理を証明するときに用いられるWiener-Ikeharaの定理を紹介した。ただ素数定理を示すのに使うだけだと味気ないと思い、ちょっとした応用についても紹介したところ、面白がって貰えてよかった。

　留数定理を用いた積分計算に取り組んでいた生徒さんに、有理関数の各極での留数の和は「無限遠点での留数」まで含めると常に$0$となることを話したところ、とても面白がってくれてこちらも嬉しくなった。

　今日は多様体のテキストの練習問題についても、私が解いたやり方よりも洗練された方法を見つけ出してくれたり、嬉しいことが多い授業だった。

　今日の授業では$n$次対称群の共役類について話した。共役類が置換の型によって分類されるところに気づいた瞬間の生徒さんがとても嬉しそうで、こちらもテンションが上がった。

　今日は逆に生徒さんからファノ平面というものを教えてもらった。生徒さんは気づいていなかったが、ファノ平面はどうやら$\mathbb{F}_2$上の射影平面であることが分かったので、射影空間についても少し話した。

　今日はガンマ関数が形式的には$\mathbb{C}[t]$上の作用素$t\frac{d}{dt}$の固有多項式と結びつけられることについて説明し、ゼータ関数についてのヒルベルト・ポリヤ予想について紹介した。

　形式的な議論ではあるものの、レルヒの公式を通じてガンマ関数が$t\frac{d}{dt}$と結びつく様子は面白く、お客様にも楽しんで頂けたようで良かった。

$C^{\infty}$級と$C^{\omega}$級の違い

数学

　こないだの授業で、「何回でも微分できる関数は、テイラー展開可能なのか？」という質問をもらい、「いや、そうとは限らないよ」という話をした。

　実際、$\mathbb{R}$上の関数

\begin{eqnarray}
f(x)
=
\begin{cases}
e^{-1/|x|} & ( x \neq 0 ) \\
0 & ( x = 0 )
\end{cases}
\end{eqnarray}

は$x=0$において$C^{\infty}$級（何回でも微分可能）だが、$C^{\omega}$級（べき級数展開可能）でない。この関数は$x=0$だけでなく、$\mathbb{R}$上で$C^{\infty}$級な関数だが、$x=0$では$f^{(n)}(0)=0$となり、テイラー展開可能でない。

このことについて、

に丁寧な説明があったので、メモ。

　今日は多様体についてあれこれ議論。分野的には幾何だが、テキストでは代数的なアプローチで議論している部分があり、その中で用いられていたベクトル空間の双対空間に関する事実を生徒さん自身に考えてもらう。最初に少しヒントを言っただけで、あとは自力で証明してくれて嬉しかった。

　数学書は、著者にとっては当たり前でも、自分自身はまだ習熟していない事実がサラっと使われていたりするので、そういうところで躓いてしまったりしますね。そういう時に気軽に質問ができる環境があるのとないのとでは、学習の効率はかなり違ってくると思います。