すうがくなどについてのメモ

数学を調べたり、教えたり、教えてもらったことのメモです

テータ関数と熱伝導方程式

リーマンゼータ関数の第二の積分表示に用いられるテータ関数$\theta(t)$
\begin{align*}
\theta(t) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t } \hspace{5mm}(t>0)
\end{align*}
は、熱伝導方程式と関係がある。これはよく知られた事実だと思うが、自分ではいままで物理的な側面を意識してこなかったので、ここでまとめる。

 まず、一次元の長さ$1$の金属棒の位置座標を$x \hspace{2mm}(-1/2 \leq x \leq 1/2)$とし、時刻を$t$としたとき、位置$x$、時刻$t$における温度$\theta(x,t)$は、熱伝導方程式
\begin{align*}
\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} = 4\pi \frac{\partial \theta}{\partial t}
\end{align*}
を満たす。ただし、熱拡散率$1/4\pi$は都合の良いように設定している。この微分方程式は変数分離法で特殊解を求めることができ、その解は
\begin{align*}
\theta(x,t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{-n^2 \pi t }e^{2n \pi i x}
\end{align*}
と書くことができる。実際にこの右辺が熱伝導方程式を満たすことは簡単に確かめられる。ここで$t=0$における初期条件$\theta(x,0)$が与えられたとき、係数$a_n$は
\begin{align*}
a_n= \int_{0}^{1} \theta(x,0)e^{-2n\pi i x} dx
\end{align*}
で与えられるから、初期条件として$\theta(x,0)=\delta(x)$、つまり$x=0$で温度が無限大、それ以外で$0$とすると、上記から
\begin{align*}
a_n= 1
\end{align*}
となり、求める解は
\begin{align*}
\theta(x,t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t }e^{2n \pi i x}
\end{align*}
となる。これは楕円関数の本などで$\vartheta_3$とか書かれるものに対応する。ここで$x=0$とすれば
\begin{align*}
\theta(0,t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t }
\end{align*}
となり、これがリーマンゼータ関数の第二の積分表示の際に用いた関数$\theta(t)$である。

 つまり、$\theta(t)$は金属棒のある1点における温度の時間発展の様子を表していると見ることができる。
 このような見方はリーマンゼータ関数の解析的性質を導き出す際に特に有効なものではないかもしれないが、おそらく歴史的にはテータ関数はこういった物理的なところから現れてきたものであり、それがリーマンゼータ関数という極めて純粋数学的な数学的対象に結びついたことは、とても面白く感じる。

 

いくつかのギリシャ文字がうまく表示されない

\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\epsilon\), \(\varepsilon\), \(\zeta\), \(\eta\)\(\zeta\), \(\theta\), \(\vartheta\), \(\iota\), \(\kappa\), \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\), \(\xi\), o, \(\pi\), \(\varpi\), \(\rho\), \(\varrho\), \(\sigma\), \(\varsigma\), \(\tau\), \(\upsilon\), \(\phi\), \(\varphi\), \(\chi\), \(\psi\), \(\omega\)

今日の授業

ルービックキューブ群論の関係についてDaniel Bumpが書いた

http://sporadic.stanford.edu/bump/match/rubik.pdf

を生徒さんと一緒に読む。

 

群の基本的な話をしたり、交換子群の性質について考えてもらったりしたが、「群」という抽象的な数学的対象が、ルービックキューブの操作という形ではっきりと手触りをもって確認ができることの楽しさを感じてもらえたようで良かった。

 

なお、上記資料は控えめに言ってめちゃくちゃ面白い。ただし誤植は多め。

今日の授業

お客様自身が考えている問題について先週教えてもらったのだが、今日の授業中に一緒に考えていたところ、思わぬ代数的構造があることが分かりすごく盛り上がった。

 

問題自体は解けていないが、問題を見通し良く捉えることができたのは大きな進歩だと思うし、日常の疑問から生まれた素朴な問題の背後に代数的構造が隠れていたというのがすごく面白い。

射影平面$\mathbb{P}^{2}$の$\mathbb{R}^{3}$へのはめ込み

https://www.youtube.com/watch?v=uiq-EcQz_uU
射影平面$\mathbb{P}^{2}$を$\mathbb{R}^{3}$に$C^{\infty}$級にはめ込むボーイ曲面の動画。まだ何が起こっているか追いきれてないけど、見ていてすごく面白い。

ルービックキューブと群論

ルービックキューブ群論の関係を調べていたら、Daniel BumpのHPに群論の導入にとても良さそうな資料を発見

http://sporadic.stanford.edu/bump/match/rubik.pdf

授業で使う機会がくると良いな。