日々のすうがくメモ

数学が好きな子が、もっと数学ができるようになるためのお手伝いをしています。

mathpower打ち上げ

昨日は10/7,8に行われた数学イベントmathpowerの打ち上げに参加した。

去年から始まったmathpower、今年もいくつかの企画に関わらせて頂いたが、個人的には企画段階から去年よりもパワーアップしていると感じていたし、実際大盛況だったと思う。

 

打ち上げでは普段なかなか話せない方々とお話できて、とても楽しい時間を過ごせた。

数論幾何の勉強

知人のUさんから月に一回くらいのペースで数論幾何について教えてもらっている。今日はその日。

$L/K$:Galois、$X = \text{Spec } K$、$U = \text{Spec } L$とする。今日の内容は、$X$上のetale $\mu$-torsor $F$で、$U$で自明化されるものはどんなものか?というもの。ここで$\mu$はAbel群に値をとる定数層。

こういったすごく幾何っぽい問題設定が数論的な話につながり、まさしく数論幾何、という感じがして興奮した。

 

 

今日の授業

今日は色々問題を考えたり解いたりしたが、生徒さんの気づきから発展して次のことがわかった:

「正の整数$n$に対して$2^n$の$10$進展開の先頭の数を$a_n$とする(つまり$a_n$は$1$から$9$の数)。この時$d=1,2,\cdots,9$に対して

$$ \lim_{N \to \infty}\frac{ \#\{n | n \leq N, a_n = d\}}{N} = \log_{10}(1 + 1/d) $$

となる(つまりベンフォードの法則が成り立つ例になっている)」

 証明はWeylの一様分布定理を用いれば出てくるが、ベンフォードの法則の数学的に厳密な例は考えたことがなかったので、こちらも勉強になった。

$R^2$内の二つの図形を同じとみなす見方

$R^2$内の二つの図形を「同じ」とみなす見方は色々ある。例えば二つの三角形が「合同」なときにその三角形を「同じ」と思いたくなったりするが、これはその二つの三角形が平行移動と回転、鏡映という変換で互いに移り合う時に「同じ」とみなす、という見方を採用していると考えることができる。

 

また、二つの三角形が「相似」な時にその三角形を「同じ」と思うことは、平行移動と回転、鏡映に加えて拡大・縮小変換によって互いに移り合う時に「同じ」とみなす、という見方を採用していると考えることができる。

 

それぞれのケースで変換全体を考えることはそれぞれに対応する変換群を考えることに対応するが、変換群としてアフィン変換群をとってくると、平面上の全ての三角形は「同じ」とみなせる。こういった考え方がいわゆるエルランゲン・プログラムという19世紀の幾何学の重要な視点に関連する(ということを最近ようやく理解した)。

 

今日この話を生徒さんにしたら、「これ以外にもっとゆるい条件で同じとみなせるものはあるのかな?」と質問がきた(←鋭い)。ふとその場で「$R^2$から$R^2$への同相写像全体のなす群で移り合う図形を同じとみなす、という考え方がいわゆるトポロジーではないかな?」と答えたが、言いながら自分でも「ああ確かにそうだな」ととても理解が深まった。

 

今日の授業

今日の生徒さんとは先週に引き続きgeogebraを使って幾何で遊んだ。

三角形の内接円と辺との接点と、対となる頂点を結んでできる三本の直線は一点で交わる。これをジュルゴンヌ点というらしい。面白いのは一般の二次曲線でも同様の性質が成り立つことで、こういうものを確かめるのにgeogebraはとても便利で楽しい。生徒さんもとても楽しんでいるようだった。

 

実際、放物線のケースでgeogebraを使って描いてみると以下のようになる↓ 

 

f:id:triprod1829:20171118114412p:plain

 

なぜこの話をしたかといえば、これらの事実と射影平面を関連づけることができるためで、射影平面という多様体の基本的な例に親しんで欲しいという意図がある。今回は射影平面の具体的な話はできなかったが、これからそういう話をしていきたい。

今日の授業

今日の授業では、先月行われた数学イベントMath Powerの関真一朗氏によるグリーン・タオの定理の話が話題になった。

生徒さんが長さ$k$の素数等差数列の公差は$k$より小さい全ての素数の積の倍数になっているだろうと予想し、それについて色々計算したり、実際に証明した。私自身はこの性質に気づかなかったので、とても感心したし、具体的な計算も楽しかった。

 

 

 

今日の授業

久々の更新。

 

今日の授業ではガロア理論幾何学的な類似である被覆空間の理論についての導入をした。被覆変換群などについて話したが興味を持ってもらえたようでよかった。